Có vẻ là biết đếm không có nghĩa là hiểu được các con số. Toán học kì diệu mà cũng đáng sợ quá!
ADN của con người được tạo thành từ 4 kí tự – A, C, G và T. Trong khi đó “ADN” của một cỗ máy chỉ bao gồm hai kí tự là 0 và 1. Xét tới tầm quan trọng của máy tính, ta có thể thấy số 0 làm nên một nửa sự thành công của các cỗ máy tính toán rồi. Nếu không có số 0, có lẽ toàn bộ kỷ nguyên số này sẽ sụp đổ chỉ trong chưa đầy 1 giây.
Andreas Nieder, nhà khoa học nhận thức công tác tại Đại học Tübingen, Đức nói rằng việc nhân loại nhận thức ra số 0 là “hành động thay đổi cục diện lịch sử, tương đương với việc con người phát minh ra ngôn ngữ“. Nhưng trong phần lớn thời gian con người đi bằng hai chân trên mặt đất, ta không hiểu “số không” có nghĩa là gì. Nó không có sẵn trong tự nhiên – vì “không tồn tại” thì làm gì có sẵn, vậy nên ta đã phải sáng tạo ra nó.
Và kể từ giây phút đó, ta cứ thế dạy cho lớp trẻ về định nghĩa của “số không”.
Một số loài động vật có thể hiểu được khái niệm của “không có gì”. Trước đây có khỉ, nghiên cứu mới chỉ ra rằng ong cũng hiểu khái niệm đó. Nhưng chỉ có duy nhất loài người, tiến hóa lên đủ cao và đủ thông minh để sử dụng “số không” như một thứ công cụ đắc lực, xây dựng nên nền văn minh.
Đây là lý do tại sao số không thú vị đến thế, và bạn nên trân trọng nó.
Việc ta hiểu được số không phức tạp hơn bạn tưởng: ta không hề gặp “số không” trong tự nhiên để nó có thể hữu hình, dễ hiểu. Bất cứ số tự nhiên nào lớn hơn không đều có ví dụ thực hiện: một con khỉ, hai con ong, ba trái đào hay bốn bông hoa. Nhưng “không” thì sao? Phải có chút nhận thức để nhận ra cái vô hình cũng là cái hữu hình, trong hư có thực, “không có gì” cũng là một cái gì đó.
“Số không tồn tại trong não bộ chúng ta chứ không thuộc về cảm giác“, Robert Kaplan, giáo sư toán học tại Harvard và tác giả cuốn sách về con số không, nói với tạp chí Vox.
Có thể số không đúng nghĩa – việc hoàn toàn không có một thứ gì tồn tại – chỉ có thể có trước khi vụ nổ Big Bang khai sinh vũ trụ diễn ra. Chúng ta sẽ không bao giờ biết chắc được.
Thế mà số không không cần tồn tại để mà hữu ích trong cuộc sống. Trên thực tế, ta có thể sử dụng khái niệm số không để tạo ra mọi con số khác. Giáo sư Kaplan lý giải khái niệm này bằng một ví dụ đơn giản, được sử dụng lần đầu bởi nhà toán học John von Neumann.
Bạn hãy tưởng tượng một cái hộp trống, không đựng gì bên trong. Các nhà toán học sẽ gọi cái hộp không chút gì đặc biệt này là “một bộ trống”, không phải một bộ trống để gõ ra nhịp, mà là một bộ trống không, không chứa thành phần gì cả. Đó sẽ là đại diện cho số không.
Rồi lấy một cái hộp trống khác, đặt vào bên trong hộp trống ban đầu. Vậy trong hộp trống ban đầu có bao nhiêu thứ?
Trong hộp có một vật thể duy nhất, ta có số 1. Rồi đặt một hộp trống nữa vào cái hộp trong cái hộp, ta có hai thứ trong cái hộp đầu tiên, ta có số 2. Và cứ thế, giáo sư Kaplan nói rằng ta đã “tạo ra tạo ra mọi số đếm từ con số không, từ trạng thái không có gì“. Đó chính là cơ sở của hệ thống số ta có.
Rồi ông Kaplan sử dụng chút thơ ca để mô tả con số 0 tròn trĩnh: “Số không đừng xa nơi chân trời, chỉ rõ cho chúng ta thấy vai trò của một đường chân trời trong bức tranh. Nó kết nố bố cục của mọi thứ. Nếu bạn nhìn vào số không, bạn sẽ chẳng thấy gì. Nhưng nếu bạn nhìn xuyên qua nó, bạn sẽ thấy cả thế giới mở ra trước mắt. Đó chính là đường chân trời“.
Khi ta đã có số không trong tay và lùi lại chỉ một bước, ta có số âm. Số không là ranh giới giúp ta ngộ ra rằng ta có thể dùng toán để luận ra những thứ đối nghịch của những khái niệm trừu tượng; số ảo thì không có thực, nhưng lại đóng một vai trò tối quan trọng trong nhiều hệ thống tính toán phức tạp.
Số không giúp ta hiểu hơn về sự tương phản, sự vô tận và những thứ quái dị khác nữa.
Số không ảnh hưởng tới toán học bằng hai cách:
– Nó đại diện cho một giá trị trong hệ thống số.
– Bản thân nó là một số cực kì hữu hữu dụng.
Lấy ví dụ về số 103. Chữ số không trong con số trên đại diện cho việc “chẳng có giá trị nào tại hàng chục cả“. Nó ở đó, đóng vai trò thế chỗ cho một số khác, giúp ta hiểu rằng số kia là 103 chứ không phải 13.
Với chúng ta, đây là kiến thức cơ bản. Với người La Mã cổ đại, số không với họ tương đương đàn gảy tai trâu. Bạn vẫn nhớ cách trình bày số La Mã chứ? 103 trong số La Mã là CIII. Chẳng hạn, với số 99 là XCIX, phép tính CIII + XCIX sẽ cực kì khó hình dung. Việc đặt số không vào giữa 1 và 3 – tạo ra một chữ số mới với số 0 ở giữa đại diện cho một giá trị nữa, cho phép ta cộng trừ dễ dàng hơn. Số không cho phép con người biến đổi chính bản chất của các con số, luận ra được các vấn đề sâu xa hơn.
Chỉ cần dừng lại ở việc thế chỗ cho một giá trị, số không cũng đã rất quan trọng rồi. Nhưng khoảng 1.500 năm trước, người Ấn Độ nhận thấy tiềm năng của số không vẫn chưa hết. Họ đẩy giới hạn đó ra xa nữa.
Các nhà toán học Ấn Độ coi “0” là một số, định nghĩa cho “không gì cả”. Người Mayan cổ đại, người Babylon, người Trung Quốc cũng tự bắt đầu sử dụng số không vào trong hệ thống số đếm của mình. Vào thế kỷ thứ Bảy, nhà toán học Ấn Độ vĩ đại Brahmagupta đặt bút viết nên tính chất toán học của “0”:
Số không bắt đầu len lỏi ra toàn Trung Á, tới được Châu Âu và vào sâu trong đầu của nhà toán học Fibonacci hồi thế kỷ 13. Chính ông là người đã đại chúng hóa hệ thống số Ả-rập, chính là tiền thân của số ta dùng ngày nay.
Sự hữu dụng của từng con số bùng nổ. Đồ thị toán học mới chỉ được phát minh vào thế kỷ 17, sau khi số không tìm được đường tới Châu Âu. Và cũng tại thế kỷ đó, xuất hiện một trường phái toán học mới phụ thuộc vào con số không: đó là toán giải tích.
Bạn có nhớ đạo hàm, bài toán đơn giản vẫn được coi là “bài dễ ăn điểm” trong đề thi đại học có Toán? Vẽ đồ thị dựa trên hàm cho trước? Một đường thẳng giao với trục của đồ thị? Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số? Thú thực, trí nhớ của tôi đôi chút mơ hồ về tuổi trẻ của số má và đồ thị. Mấy câu vừa rồi là hỏi để nhớ lại kiến thức cũ đấy.
Hai thiên tài toán học là Isaac Newton và Gottfried Leibniz khám phá ra điều này khi họ phát minh ra giải tích: việc tính ra hệ số góc của một điểm luôn bao gồm việc chia cho một số ngày càng gần 0, nhưng không bao giờ được chia cho 0 cả.
Khi sinh ra, ta không hiểu “số không” là gì. Đó là thứ ta phải học dần và cùng thời gian, ta mới lĩnh hội được toàn bộ khái niệm “không có gì”.
Elizabeth Brannon, nhà khoa học thần kinh tại Đại học Duke bỏ nhiều công sức ra để nghiên cứu cách thức não bộ con người và con vật nhìn nhận số má. Bà nói rằng dù đứa trẻ dưới 6 tuổi hoàn toàn hiểu “số không” đại diện cho việc “không có gì cả”, chúng vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu được các yếu tố toán học xoay quanh số không.
Trong các thử nghiệm của mình, bà Brannon bày trò chơi với các cô cậu nhóc 4 tuổi. Bà sẽ đặt lên bàn các tấm thẻ, in trên đó là một số đồ vật biểu thị cho số lượng, yêu cầu những đứa trẻ tham gia thử nghiệm chọn ra tấm thẻ nào có ít đồ vật – số bé hơn.
Khi gặp một tấm thẻ không hiển thị bất kì thứ gì và một tấm chỉ hiện một vật thể, chưa đầy 50% các bé chọn được đáp án đúng.
Theo lời nhà khoa học nhận thức Andreas Nieder, một người phải trải qua 4 bước để hoàn toàn hiểu hết số không.
– Bước đầu tiên, ta nhận biết qua cảm giác hiện hữu hoặc không. Một ánh đèn trong trạng thái bật và tắt, một âm thanh trong trạng thái có hoặc không.
– Bước thứ hai, ta hiểu được hành vi đằng sau khái niệm không tồn tại gì. Ở bước này, động vật không chỉ nhận ra là không có gì, nó còn có thể hành động dựa theo khái niệm đó. Khi một con vật (từ con khỉ đến con người) nhận thấy rằng thức ăn đã hết – lượng thức ăn về con số không, nó phải tự biết đứng lên mà “lăn vào bếp”.
– Bước thứ ba, nhận ra số không có giá trị nhỏ hơn một. Điều này khó hơn bạn tưởng tượng, chỉ một vài loài động vật nhận ra được điều đó. Điều quan trọng là phải “hiểu được việc không có gì cũng là số lượng”, và số lượng đó bằng không.
– Bước thứ tư, đó là lấy sự thiếu thốn của một sự vật, sự việc và biến nó thành một biểu tượng hay một công cụ để giải quyết vấn đề. Ngoài con người, không một loài vật nào – dù thông minh đến đâu, có thể hiểu được số không là biểu tượng của việc “không có gì tồn tại”. Loài người dùng số không để giải toán, tạo ra được máy tính.
Đừng khen sự thượng đẳng của con người vội, vì kịch hay vẫn còn hồi nữa. Kể cả những cá nhân được học hành tử thế cũng vẫn phải nghĩ ngợi đôi chút khi đứng trước số không. Nghiên cứu chỉ ra rằng người trưởng thành cần thêm một chút thời gian để nhận ra số không, so với các số đếm thông thường khác.
Và khi áp dụng bài thử chọn ra tấm thẻ ít sự vật nhất lên người trường thành, các thành viên thử nghiệm cũng mất một tích tắc lâu hơn khi chọn ra hai tấm thẻ 0 và 1, lâu hơn việc chọn giữa các tấm thẻ so sánh 0 với các số lớn hơn 1.
Kết quả thí nghiệm chỉ ra rằng trên cả người lớn, việc nhận dạng số không cũng cần chút sức mạnh xử lý của não bộ.
Ta có thể không hiểu được số không từ khi lọt lòng, nhưng quá trình học tập và thu nhận kiến thức đã cho phép con người hiểu được khái niệm rất ư trừu tượng. Thậm chí, việc thông hiểu số không còn đến từ tiến hóa nữa cơ.
Bước thứ tư trong việc nhận dạng số không – coi số không là biểu tượng – có thể chỉ con người mới có. Nhưng có những loài vật khác đến được bước ba: nhận ra rằng không nhỏ hơn một. Những con ong bé nhỏ, não bộ bé tí cũng có được khả năng đó.
Scarlett Howard, sinh viên học thạc sĩ tại Viện Công nghệ Hoàng gia Melbourne mới đăng tải một nghiên cứu, gần như tương tự những gì giáo sư Brannon làm với lũ trẻ dưới 6 tuổi. Lũ ong chọn được tấm bìa trắng, trống trơn, tượng trưng cho số 0 được 60-70% số lần thử. Chúng cũng gặp khó khăn lúc chọn ra số nhỏ hơn giữa 0 và 1, và dễ dàng chọn ra khi khoảng cách giữa số không và số còn lại lớn hơn.
Điều này ấn tượng vô cùng, bởi bộ não thượng đẳng của chúng ta quá khác biệt so với vài miligram não con ong. “Tổ tiên chung giữa ta và con ong sống khoảng 600 triệu năm trước, chắc phải tương đương với vô tận trong dòng thời gian tiến hóa“, nhà nghiên cứu Nieder nói. Các nghiên cứu tiếp theo sẽ nhắm tới việc tìm ra cơ chế tính toán bên trong não bộ con ong, và có thể dựa vào đó để tăng sức mạnh tính toán của máy tính.
Hiểu biết về số không là một chuyện, cách não bộ chúng ta hiểu được số không lại khác. Hơn nữa, ta cũng chẳng rõ tại sao nhiều loài động vật cũng hiểu được số không.
Ít ra toán học cũng vẫn dạy được ta rằng khi bắt tay vào tính toán những thứ hư không, ta vẫn sẽ tìm ra được một thứ gì đó.
